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課程一:高等代數(shù)考試大綱(總分100)

第一，參考資料

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)系編輯，高等代數(shù)，高等教育出版社，第4版，2013年8月。

二、考試內(nèi)容和基本要求

第一章

多項(xiàng)式

考試內(nèi)容:

1.數(shù)集、數(shù)域、多項(xiàng)式的概念及多項(xiàng)式的代數(shù)性質(zhì)；

2.可除性的概念，可除性和不可約多項(xiàng)式的幾個(gè)共同性質(zhì)；

3.最大公因數(shù)的存在性和求解，互質(zhì)、不可約多項(xiàng)式的概念和推廣及其性質(zhì)；

4.多因素，單因素，微信業(yè)務(wù)，多因素的判別與求解，多因素的剔除方法，因素分解的唯一性定理；

5.多項(xiàng)式的根，多項(xiàng)式的根數(shù)，復(fù)域多項(xiàng)式的分解，實(shí)域多項(xiàng)式的分解。

基本要求:

1.掌握一元多項(xiàng)式的概念和運(yùn)算，以及多積與次數(shù)的關(guān)系；

2.正確理解多項(xiàng)式可除性的概念和性質(zhì)，正確理解用余數(shù)除；

3.掌握最大公因式的概念、性質(zhì)和解法，多項(xiàng)式互質(zhì)的概念和性質(zhì)；

4.正確理解不可約多項(xiàng)式的概念，掌握多項(xiàng)式因式分解的唯一性定理；

5.正確理解多項(xiàng)式多因子的概念，掌握判斷多項(xiàng)式是否有多因子的方法；

6.掌握多項(xiàng)式函數(shù)和多項(xiàng)式根的概念；

7.掌握復(fù)域和實(shí)域多項(xiàng)式的因式分解定理；

8.掌握有理數(shù)領(lǐng)域多項(xiàng)式的有理根。

第二章

行列式

考試內(nèi)容:

1.n階排列，逆序數(shù)，偶(奇)排列，排列的交換和奇偶；

2.一般行列式的定義和n階行列式的性質(zhì)；

3.行列式的變換與計(jì)算；

4.行列式按一條直線(xiàn)展開(kāi)的性質(zhì)及其應(yīng)用：

5.克萊姆法則，拉普拉斯定理，行列式乘法法則；

基本要求:

1.掌握n階行列式的概念和性質(zhì)；

2.學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式；

3.掌握克萊姆定律和拉普拉斯定理。

第三章線(xiàn)性方程

考試內(nèi)容:

1.消元法，方程的初等變換，方程解的判別；

2.N維向量的概念，N維向量的運(yùn)算，線(xiàn)性組合，向量組的等價(jià)性，線(xiàn)性相關(guān)性(獨(dú)立性)，線(xiàn)性相關(guān)性的確定，最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，向量組的秩；

3.求矩陣的秩；

4.線(xiàn)性方程組有解的判定定理，線(xiàn)性方程組的求解方法，齊次線(xiàn)性方程組的結(jié)構(gòu)，一般線(xiàn)性方程組的結(jié)構(gòu)，線(xiàn)性方程組的幾何意義。

5.兩個(gè)多項(xiàng)式的結(jié)與二元高階方程的解。

基本要求:

1.了解消元法與矩陣初等變換的關(guān)系，熟練運(yùn)用消元法求解一般線(xiàn)性方程組；

2.正確理解和掌握矩陣秩的概念，熟練運(yùn)用矩陣的初等變換求矩陣的秩；

3.掌握線(xiàn)性方程組的判定定理及其應(yīng)用；

4.精通尋找齊次線(xiàn)性方程組的基本解系；

5.有解時(shí)掌握一般線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)；

6.掌握n元n方程齊次線(xiàn)性方程組非零解存在的充要條件。

第四章

矩陣

考試內(nèi)容:

1.矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算、矩陣乘積的行列式和秩；

2.可逆矩陣、可逆矩陣的性質(zhì)及可逆矩陣的兩個(gè)應(yīng)用：

3.矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積及分塊矩陣的應(yīng)用；

4.逆矩陣的求解與塊乘法的初等變換。

基本要求:

1.掌握矩陣的加、乘、乘、轉(zhuǎn)、運(yùn)算規(guī)則，并熟練運(yùn)用；

2.掌握矩陣可逆性的概念及其判斷方法；

3.熟悉并掌握矩陣乘積的行列式和秩的定理；

4.掌握初等矩陣的概念，初等矩陣與初等變換的關(guān)系，初等變換求逆矩陣的方法。

第五章二次型

考試內(nèi)容:

1.二次型、二次型、二次型矩陣的矩陣表示，置換前后二次型矩陣的關(guān)系，二次型標(biāo)準(zhǔn)型的求解；

2.正定二次型及其性質(zhì)，正定性判別，與正定二次型并行的理論。

基本要求:

1.掌握二次型的概念以及二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

2.掌握二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法和理論基礎(chǔ)；

3.掌握矩陣合同的概念和性質(zhì)；

4.掌握正定二次型的概念和判別。

第六章

線(xiàn)性空

考試內(nèi)容:

1.集合、映射、線(xiàn)性空的定義及其簡(jiǎn)單性質(zhì)、線(xiàn)性相關(guān)性和幾個(gè)結(jié)論、維數(shù)、基和坐標(biāo)；

2.基變換和坐標(biāo)變換，以及轉(zhuǎn)移矩陣的求解；

3.線(xiàn)性化器空及其判別和發(fā)生器空；

4.子代間交和的定義空，維度公式，子代間交和的計(jì)算空，子代間直和空。

基本要求:

1.掌握線(xiàn)性空的概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)，理解公理化思維方法；

2.正確理解和掌握sub 空之間線(xiàn)性空的概念和判別方法，sub 空之間交和的概念，掌握和為直和的判別方法；

3.正確理解和掌握線(xiàn)性空中向量線(xiàn)性相關(guān)的概念和性質(zhì)；

4.掌握有限維線(xiàn)性空之間的基和維的概念和解法；

5.掌握線(xiàn)性空中矢量坐標(biāo)的定義，基變換和坐標(biāo)變換的公式，轉(zhuǎn)移矩陣的概念、性質(zhì)和解法。

第七章

線(xiàn)性變換

考試內(nèi)容:

1.線(xiàn)性變換的定義、線(xiàn)性變換的運(yùn)算規(guī)則和線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式；

2.一組基下線(xiàn)性變換矩陣的矩陣，線(xiàn)性變換與一組基下矩陣的關(guān)系，坐標(biāo)變換公式，不同基下線(xiàn)性變換矩陣，不同基下線(xiàn)性變換矩陣的關(guān)系，相似矩陣的性質(zhì)；

3.特征值和特征向量的定義，特征值和特征向量的求解，特征多項(xiàng)式的性質(zhì)；

4.某一組基下的矩陣是對(duì)角矩陣的線(xiàn)性變換，相似對(duì)角矩陣和對(duì)應(yīng)基的解，值域和核的定義和性質(zhì)，值域和核的解。

基本要求:

1.正確理解線(xiàn)性變換的概念，掌握其運(yùn)算和簡(jiǎn)單性質(zhì)；

2.掌握線(xiàn)性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

3.正確理解和掌握矩陣相似性和特征值向量的重要概念和解法，掌握矩陣對(duì)角化的條件和方法；

4.掌握線(xiàn)性變換的值域和核的概念和解法。

第九章

歐幾里得空

考試內(nèi)容:

定義和基本性質(zhì)，度量矩陣，標(biāo)準(zhǔn)正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性和解，從標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的轉(zhuǎn)移矩陣。

基本要求:

1.正確理解內(nèi)積、歐氏空、長(zhǎng)度、夾角、距離等概念；

2.掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的解法；

3.理解歐氏空之間同構(gòu)的概念及同構(gòu)的充要條件；

4.掌握正交變換和正交矩陣的概念、性質(zhì)和關(guān)系。

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