高等數(shù)學(xué)考試大綱

一、課程名稱:高等數(shù)學(xué)

二、適用專業(yè):化工與工藝、機(jī)械設(shè)計與制造及自動化

三、考試方法:閉卷考試

四、考試時間:90分鐘

動詞 （verb的縮寫）試卷結(jié)構(gòu):總分:100分，其中選擇題20分，填空題20分，算題50分，證明題10分。

不及物動詞參考書目:

1.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，《高等數(shù)學(xué)》(上冊、下冊)，高等教育出版社，第6版，2007年。

2.《高等數(shù)學(xué)》(靠前卷、第二卷)，李樂成等主編，華中科技大學(xué)出版社，2004年第2版。

七、考試的基本要求:

考生應(yīng)該明白& ，高等數(shù)學(xué),函數(shù)的基本概念與理論，極限與連續(xù)性，一元函數(shù)的微分學(xué)，一元函數(shù)的積分學(xué)，向量代數(shù)與空之間的解析幾何，多元函數(shù)的微積分，無窮級數(shù)與常微分方程；學(xué)習(xí)、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知識各部分的結(jié)構(gòu)和知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力和介于空之間的想象能力；具備運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法進(jìn)行正確推理證明和準(zhǔn)確計算的能力；能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決簡單的實(shí)際問題。

八、考試范圍

第1章功能和限制

(一)考核內(nèi)容

映射與函數(shù)，數(shù)列極限，函數(shù)極限，無窮小與無窮遠(yuǎn)，極限算法，極限存在準(zhǔn)則，兩個重要極限，無窮小的比較，函數(shù)的連續(xù)性與不連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)與初等函數(shù)運(yùn)算的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

(二)知識點(diǎn)評估

1.函數(shù)的概念和性質(zhì)。

2.求函數(shù)的極限。

(3)評估要求

1.理解:間斷的概念會區(qū)分間斷的類型；初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(中值定理和最大最小值定理)。

2.理解:函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念；函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；極限的概念；無窮小、無窮遠(yuǎn)、無窮小比較階的概念；等價無窮小求極限；函數(shù)在一點(diǎn)上連續(xù)的概念。

3.碩士:基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖形；極限的四種算法；兩個重要的極限公式。

第二章導(dǎo)數(shù)和微分

(一)考核內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的微分。

(二)知識點(diǎn)評估

1，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

2.功能分化。

(3)評估要求

1.理解:微分的四種算法和一階微分形式的不變性；高階導(dǎo)數(shù)的概念；幾種常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式。

2.理解:導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系。

3.掌握:四導(dǎo)算法和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。如何求初等函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)；由隱函數(shù)和參數(shù)表達(dá)式確定的函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

第三章是微分中值定理及其導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)考核內(nèi)容

微分中值定理，洛必達(dá)定律，泰勒公式，函數(shù)單調(diào)性和曲線凸凹性，函數(shù)極值和極小極大。

(二)知識點(diǎn)評估

1.羅爾定理和拉格朗日定理。

2.洛必達(dá)定律。

3.函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性。

4.函數(shù)的極值、最大值和最小值

(3)評估要求:

1.理解:柯西定理、泰勒定理。

2.理解:羅爾定理和拉格朗日定理，函數(shù)極值的概念。

3.高手:判斷函數(shù)單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點(diǎn)；會畫出函數(shù)的圖形(包括水平和垂直漸近線)；解決最大值和最小值的簡單應(yīng)用問題；和洛必達(dá)一起；醫(yī)院)法則求不定式的極限。

第四章不定積分

(一)考核內(nèi)容

不定積分的概念和性質(zhì)，代換積分法，分部積分，有理函數(shù)積分。

(二)知識點(diǎn)評估

1、不定積分的基本公式。

2.不定積分的分部代換積分法。

3.求有理函數(shù)積分的簡單方法。

(3)評估要求

1.理解:不定積分的概念和性質(zhì)。

2.碩士:不定積分的基本公式，不定積分各部分代換積分的方法；會發(fā)現(xiàn)簡單有理函數(shù)的積分。

第五章定積分

(一)考核內(nèi)容

定積分的概念和性質(zhì)，微積分的基本公式，定積分的部分代換和積分方法，廣義積分。

(二)知識點(diǎn)評估

1、微積分的基本公式。

2.用不動點(diǎn)零件代替和積分的方法。

(3)評估要求

1.理解:定積分的概念和性質(zhì)；變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理，廣義積分的概念。

2.掌握牛頓-萊布尼茨公式；定積分部分代換積分法。

第六章定積分的應(yīng)用

(一)考核內(nèi)容

定積分的元素法，定積分在幾何中的應(yīng)用。

(二)知識點(diǎn)評估

1.用定積分求一些幾何量(如面積、體積、弧長)。

(3)評估要求

1.理解:定積分的元素法。

2.掌握用定積分求一些幾何量(如面積、體積、弧長)的方法。

第七章微分方程

(一)考核內(nèi)容

微分方程基本概念，可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，可約高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。

(二)知識點(diǎn)評估

1.可分離變量的微分方程和齊次方程。

2.一階線性微分方程，可以化簡的高階微分方程。

3.常系數(shù)齊次線性微分方程和常系數(shù)非齊次線性微分方程。

(3)評估要求

1.理解:微分方程的概念，解，通解，初始條件，特解，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

2.碩士:可分離變量的方程和一階線性方程的解；求解齊次方程；用降階法求解下列方程:，；二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解:二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解。

第八章空之間的解析幾何和向量代數(shù)

(一)考核內(nèi)容

向量及其線性運(yùn)算、標(biāo)量積、叉積、曲面及其方程、曲線及其方程在空之間、平面及其方程、直線及其方程在空之間。

(二)知識點(diǎn)評估

1、向量運(yùn)算(線性運(yùn)算，量的乘積，叉積)。

2.空之間的曲線及其方程。

3.平面方程和直線方程及其解法。

(3)評估要求

1.理解:兩個向量垂直平行的條件，常用二次曲面方程及其圖形，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，母線平行于坐標(biāo)軸的圓柱方程；空之間曲線的參數(shù)方程和一般方程；坐標(biāo)平面上曲面交線的投影。

2.了解空之間的直角坐標(biāo)系，矢量的概念和表示，曲面的概念及其方程。

3.主:向量運(yùn)算(線性運(yùn)算、量積、叉積)；單位向量、方向余弦、向量坐標(biāo)表達(dá)式以及帶坐標(biāo)表達(dá)式的向量運(yùn)算方法；平面方程和直線方程及其解法會利用平面和直線的關(guān)系來解決相關(guān)問題。

第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

(一)考核內(nèi)容

多元函數(shù)的基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。

(二)知識點(diǎn)評估

1，偏導(dǎo)數(shù)，全微分。

2.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則。

3.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(3)評估要求

1.理解二元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的存在性、可微性和連續(xù)性的關(guān)系。

2.理解:多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，全微分的概念。

3.主:偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(包括方程確定的)。

第十章多重積分

(一)考核內(nèi)容

二重積分的概念和性質(zhì)，二重積分的計算方法。

(二)知識點(diǎn)評估

1.二重積分的計算。

(3)評估要求

1.理解:二重積分的概念和性質(zhì)。

2.掌握二重積分(直角坐標(biāo))的計算方法。

第十一章曲線積分

(一)考核內(nèi)容

弧長曲線積分，坐標(biāo)曲線積分，格林公式及其應(yīng)用。

(二)知識點(diǎn)評估

1.兩類曲線積分的計算。

2.綠色公式。

(3)評估要求

1.理解:兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及關(guān)系。

2.碩士:兩類曲線積分的計算；格林公式使用了平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

第十二章無限系列

(一)考核內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂方法，冪級數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)。

(二)知識點(diǎn)評估

1、常數(shù)級數(shù)的收斂方法。

2.冪級數(shù)。

3.把函數(shù)展開成冪級數(shù)。

(3)評估要求

1.理解:無窮級數(shù)斂散和的概念，無窮級數(shù)的基本性質(zhì)，收斂的必要條件；正項(xiàng)級數(shù)的比較與收斂方法，交錯級數(shù)的萊布尼茨定理；無窮級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念及關(guān)系；函數(shù)級數(shù)的收斂域和和函數(shù)的概念，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。

2.掌握幾何級數(shù)和P-級數(shù)的收斂性；正項(xiàng)級數(shù)的比收斂法:簡單冪級數(shù)收斂域的求解:利用Maclaurin展開式將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

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