高等數(shù)學考試大綱

一、課程名稱:高等數(shù)學

二、適用專業(yè):化工與工藝、機械設計與制造及自動化

三、考試方法:閉卷考試

四、考試時間:90分鐘

動詞 （verb的縮寫）試卷結(jié)構:總分:100分，其中選擇題20分，填空題20分，算題50分，證明題10分。

不及物動詞參考書目:

1.同濟大學數(shù)學系主編，《高等數(shù)學》(上冊、下冊)，高等教育出版社，第6版，2007年。

2.《高等數(shù)學》(靠前卷、第二卷)，李樂成等主編，華中科技大學出版社，2004年第2版。

七、考試的基本要求:

考生應該明白& ，高等數(shù)學,函數(shù)的基本概念與理論，極限與連續(xù)性，一元函數(shù)的微分學，一元函數(shù)的積分學，向量代數(shù)與空之間的解析幾何，多元函數(shù)的微積分，無窮級數(shù)與常微分方程；學習、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知識各部分的結(jié)構和知識的內(nèi)在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯思維能力、運算能力和介于空之間的想象能力；具備運用基本概念、基本理論和基本方法進行正確推理證明和準確計算的能力；能夠綜合運用所學知識分析和解決簡單的實際問題。

八、考試范圍

第1章功能和限制

(一)考核內(nèi)容

映射與函數(shù)，數(shù)列極限，函數(shù)極限，無窮小與無窮遠，極限算法，極限存在準則，兩個重要極限，無窮小的比較，函數(shù)的連續(xù)性與不連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)與初等函數(shù)運算的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

(二)知識點評估

1.函數(shù)的概念和性質(zhì)。

2.求函數(shù)的極限。

(3)評估要求

1.理解:間斷的概念會區(qū)分間斷的類型；初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(中值定理和最大最小值定理)。

2.理解:函數(shù)和復合函數(shù)的概念；函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；極限的概念；無窮小、無窮遠、無窮小比較階的概念；等價無窮小求極限；函數(shù)在一點上連續(xù)的概念。

3.碩士:基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖形；極限的四種算法；兩個重要的極限公式。

第二章導數(shù)和微分

(一)考核內(nèi)容

導數(shù)的概念，函數(shù)的導數(shù)法則，高階導數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的微分。

(二)知識點評估

1，函數(shù)的導數(shù)。

2.功能分化。

(3)評估要求

1.理解:微分的四種算法和一階微分形式的不變性；高階導數(shù)的概念；幾種常見函數(shù)的n階導數(shù)的一般表達式。

2.理解:導數(shù)和微分的概念，導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導性和連續(xù)性的關系。

3.掌握:四導算法和復合函數(shù)求導法；基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。如何求初等函數(shù)的一階和二階導數(shù)；由隱函數(shù)和參數(shù)表達式確定的函數(shù)的一階和二階導數(shù)。

第三章是微分中值定理及其導數(shù)的應用

(一)考核內(nèi)容

微分中值定理，洛必達定律，泰勒公式，函數(shù)單調(diào)性和曲線凸凹性，函數(shù)極值和極小極大。

(二)知識點評估

1.羅爾定理和拉格朗日定理。

2.洛必達定律。

3.函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性。

4.函數(shù)的極值、最大值和最小值

(3)評估要求:

1.理解:柯西定理、泰勒定理。

2.理解:羅爾定理和拉格朗日定理，函數(shù)極值的概念。

3.高手:判斷函數(shù)單調(diào)性，用導數(shù)求函數(shù)極值的方法；利用導數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點；會畫出函數(shù)的圖形(包括水平和垂直漸近線)；解決最大值和最小值的簡單應用問題；和洛必達一起；醫(yī)院)法則求不定式的極限。

第四章不定積分

(一)考核內(nèi)容

不定積分的概念和性質(zhì)，代換積分法，分部積分，有理函數(shù)積分。

(二)知識點評估

1、不定積分的基本公式。

2.不定積分的分部代換積分法。

3.求有理函數(shù)積分的簡單方法。

(3)評估要求

1.理解:不定積分的概念和性質(zhì)。

2.碩士:不定積分的基本公式，不定積分各部分代換積分的方法；會發(fā)現(xiàn)簡單有理函數(shù)的積分。

第五章定積分

(一)考核內(nèi)容

定積分的概念和性質(zhì)，微積分的基本公式，定積分的部分代換和積分方法，廣義積分。

(二)知識點評估

1、微積分的基本公式。

2.用不動點零件代替和積分的方法。

(3)評估要求

1.理解:定積分的概念和性質(zhì)；變上限定積分定義的函數(shù)及其導數(shù)定理，廣義積分的概念。

2.掌握牛頓-萊布尼茨公式；定積分部分代換積分法。

第六章定積分的應用

(一)考核內(nèi)容

定積分的元素法，定積分在幾何中的應用。

(二)知識點評估

1.用定積分求一些幾何量(如面積、體積、弧長)。

(3)評估要求

1.理解:定積分的元素法。

2.掌握用定積分求一些幾何量(如面積、體積、弧長)的方法。

第七章微分方程

(一)考核內(nèi)容

微分方程基本概念，可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，可約高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程。

(二)知識點評估

1.可分離變量的微分方程和齊次方程。

2.一階線性微分方程，可以化簡的高階微分方程。

3.常系數(shù)齊次線性微分方程和常系數(shù)非齊次線性微分方程。

(3)評估要求

1.理解:微分方程的概念，解，通解，初始條件，特解，二階線性微分方程解的結(jié)構。

2.碩士:可分離變量的方程和一階線性方程的解；求解齊次方程；用降階法求解下列方程:，；二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解:二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解。

第八章空之間的解析幾何和向量代數(shù)

(一)考核內(nèi)容

向量及其線性運算、標量積、叉積、曲面及其方程、曲線及其方程在空之間、平面及其方程、直線及其方程在空之間。

(二)知識點評估

1、向量運算(線性運算，量的乘積，叉積)。

2.空之間的曲線及其方程。

3.平面方程和直線方程及其解法。

(3)評估要求

1.理解:兩個向量垂直平行的條件，常用二次曲面方程及其圖形，以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，母線平行于坐標軸的圓柱方程；空之間曲線的參數(shù)方程和一般方程；坐標平面上曲面交線的投影。

2.了解空之間的直角坐標系，矢量的概念和表示，曲面的概念及其方程。

3.主:向量運算(線性運算、量積、叉積)；單位向量、方向余弦、向量坐標表達式以及帶坐標表達式的向量運算方法；平面方程和直線方程及其解法會利用平面和直線的關系來解決相關問題。

第九章多元函數(shù)微分法及其應用

(一)考核內(nèi)容

多元函數(shù)的基本概念，偏導數(shù)，全微分，多元復合函數(shù)的求導法則，隱函數(shù)的求導公式。

(二)知識點評估

1，偏導數(shù)，全微分。

2.多元復合函數(shù)的求導規(guī)則。

3.隱函數(shù)的導數(shù)。

(3)評估要求

1.理解二元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；二元函數(shù)偏導數(shù)的存在性、可微性和連續(xù)性的關系。

2.理解:多元函數(shù)，偏導數(shù)，全微分的概念。

3.主:偏導數(shù)，復合函數(shù)的一階和二階偏導數(shù)；隱函數(shù)的偏導數(shù)(包括方程確定的)。

第十章多重積分

(一)考核內(nèi)容

二重積分的概念和性質(zhì)，二重積分的計算方法。

(二)知識點評估

1.二重積分的計算。

(3)評估要求

1.理解:二重積分的概念和性質(zhì)。

2.掌握二重積分(直角坐標)的計算方法。

第十一章曲線積分

(一)考核內(nèi)容

弧長曲線積分，坐標曲線積分，格林公式及其應用。

(二)知識點評估

1.兩類曲線積分的計算。

2.綠色公式。

(3)評估要求

1.理解:兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及關系。

2.碩士:兩類曲線積分的計算；格林公式使用了平面曲線積分與路徑無關的條件。

第十二章無限系列

(一)考核內(nèi)容

常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)，常數(shù)項級數(shù)的收斂方法，冪級數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)。

(二)知識點評估

1、常數(shù)級數(shù)的收斂方法。

2.冪級數(shù)。

3.把函數(shù)展開成冪級數(shù)。

(3)評估要求

1.理解:無窮級數(shù)斂散和的概念，無窮級數(shù)的基本性質(zhì)，收斂的必要條件；正項級數(shù)的比較與收斂方法，交錯級數(shù)的萊布尼茨定理；無窮級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念及關系；函數(shù)級數(shù)的收斂域和和函數(shù)的概念，冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。

2.掌握幾何級數(shù)和P-級數(shù)的收斂性；正項級數(shù)的比收斂法:簡單冪級數(shù)收斂域的求解:利用Maclaurin展開式將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

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